Max-Planck-Forschungsgruppe

Geometrische Maßtheorie

Zentrales Studienobjekt der Arbeitsgruppe sind zwei- oder mehrdimensionale Flächen in entsprechend drei- oder mehrdimensionalen flachen oder gekrümmten Räumen.

Die Max-Planck-Forschungsgruppe "Geometrische Maßtheorie" fußt auf einer Kooperation der Max-Planck-Gesellschaft mit der Universität Potsdam. Innerhalb des Albert-Einstein-Institutes steht sie in engem Kontakt mit der Abteilung "Geometrische Analysis und Gravitation". An der Universität Potsdam kooperiert sie insbesondere mit der Arbeitsgruppe "Partielle Differentialgleichungen".

Zentrales Studienobjekt der Arbeitsgruppe sind zwei- oder mehrdimensionale Flächen in entsprechend drei- oder mehrdimensionalen flachen oder gekrümmten Räumen. Zur einfacheren Visualisierung stelle man sich zunächst zweidimensionale Flächen im flachen dreidimensionalen Raum vor. In einem ersten und ebenso klassischen Ansatz modelliert man solche Flächen mathematisch durch glatte Untermannigfaltigkeiten. Im zweidimensionalen Fall sind dies Objekte, deren Form lokal durch Verformen und Dehnen eines Gummituches nachempfunden werden kann. Global können diese jedoch eine kompliziertere Struktur besitzen, wie beispielsweise ein Torus.

Möchte man nun beispielsweise das Plateau-Problem in beliebigen Dimensionen lösen, so erweist sich die Klasse der glatten Untermannigfaltigkeiten als mathematisch wenig zweckmäßig. (In der klassischen Version des Plateau-Problems wird zu einer gegebenen Randkurve eine aufspannende Fläche mit geringstem Inhalt gesucht.) Ein bewährter Kunstgriff ist in diesem Fall, zweistufig vorzugehen. Zunächst konstruiert man eine geeignete erweiterte Klasse, in der man eine Fläche finden kann, die das Problem löst (Existenztheorie). Im Anschluss daran wird gezeigt, dass die so erhaltene Fläche doch ganz oder teilweise die Glattheitseigenschaften besitzt, die die ursprüngliche Klasse ausgezeichnet haben (Regularitätstheorie).

Mit Hilfe der geometrischen Maßtheorie wurde in den letzten etwa 100 Jahren bei der Konstruktion geeigneter erweiterter Klassen, beispielsweise die der Ströme oder die der Varifaltigkeiten, und der zugehörigen Existenztheorie vielfach ein sehr zufriedenstellender Kenntnisstand erreicht. Weiterhin gelangen mehrere entscheidende Beiträge in der Regularitätstheorie. Insgesamt hat sich dabei der Einsatz der geometrischen Maßtheorie für Flächen von mindestens drei Dimensionen als unverzichtbar erwiesen.

Gleichwohl sind gerade in der Regularitätstheorie einige sehr wichtige Fragestellungen weiterhin offen. Dies betrifft insbesondere Fälle, in denen bereits bekannt ist, dass die Lösung weit weniger regulär sein muss, als dies glatte Untermannigfaltigkeiten sind. Hier setzt nun die Forschung der Arbeitsgruppe an. Dabei zerfällt die Aufgabe in zwei Teile. Zunächst müssen geeignete leistungsfähige, angepasste Regularitätsbegriffe studiert werden, die zum Teil sogar erst entwickelt werden müssen. Im Anschluss daran muss nachgewiesen werden, dass Lösungen wichtiger Variationsprobleme diese Eigenschaften auch tatsächlich besitzen.

Abschließend sei noch erwähnt, dass die Geometrische Maßtheorie vielfältige Einsatzorte in der mathematischen Theoriebildung gefunden hat. In der geometrischen Analysis sind neben den schon genannten geometrischen Variationsproblemen zum Beispiel die geometrischen Flüsse zu nennen, die beide Forschungsthemen der Abteilung "Geometrische Analysis und Gravitation" sind. Weitere Anwendungen ergeben sich beispielsweise in der theoretischen Behandlung von – dem ersten Anschein nach – so unterschiedlichen Prozessen wie der Bildrekonstruktion oder des Kristallwachstums.

 
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